Мне нужно кому-то отдать кота. Ему три года, кастрирован, здоров.

Взамен я могла бы взять крысу или хомяка. Возможен ли такой обмен?

О таком обмене вам лучше сделать запрос в социальные сети. «Права животных» помогают тем животным, которым больше никто не может помочь. В вашем случае рядом с котом есть вы и вы можете предпринять все меры для того, чтоб его устроить. О том, почему, приюты не берут животных, вы можете прочитать в этом же разделе в ответе на соответствующий вопрос. Здесь инструкция о том, как пристроить животное.

ВНИМАНИЕ! Помните, что в городе есть только две организации, которые охотно берут животных — это Центр по проблемам домашних животных (попросту живодерка, которая по телефону позиционарует себя, как приют) и обширная сеть перекупщиков, которые требуют деньги за пристройство животного. И там и там животные погибают. В первом случае насильственной смертью в течение 2-3 дней, во втором — как получится. Будьте бдительны!